费马小定理如何发现的探索之路，是一部跨越千年的数学智慧结晶，更是现代数论中最为璀璨的明珠之一。从最初的尝试误入歧途，到最终由法国数学家勒让德与阿达马独立证明，这一过程不仅化解了困扰数学界三百年的难题，
费马小定理如何发现的探索之路，是一部跨越千年的数学智慧结晶，更是现代数论中最为璀璨的明珠之一。从最初的尝试误入歧途，到最终由法国数学家勒让德与阿达马独立证明，这一过程不仅化解了困扰数学界三百年的难题，更确立了其在哥德巴赫猜想等伟大猜想中的地位。
费马小定理的具体表述为：对于任意一个质数 $p$ 和任意整数 $a$，若 $a$ 不为零，则当 $a$ 不小于 $p$ 时，$a^{p-1}$ 除以 $p$ 的余数总为 1。该定理是判定大质数性质的重要依据，也是许多著名猜想的基础。在数论的发展长河中，关于这一命题的证明方式经历了从初等技巧到代数构造的多个阶段，每一步的突破都凝聚了人类智慧的光芒。尽管历史上存在多种猜想，但最终的统一证明确实由勒让德与阿达马完成，这一历史事实常被广大爱好者所熟知，也成为了本期探讨的焦点。
初始探索：朴素直觉与早期误区 在费马小定理正式立住脚之前，数学家们曾在多个时期进行过相关的探索，这些尝试虽然未能给出最终证明，但为后来的研究提供了宝贵的思想火花。 勒让德公理：黎曼猜想 早在 1752 年，法国数学家格洛特利特·勒让德就提出了一个看似简单却极为深刻的公理，这被称为“勒让德公理”。他提出：若 $p$ 是质数，且 $a$ 为非零整数，则 $a^{p-1}$ 除以 $p$ 的余数必为 1。然而，勒让德本人并未给出证明，而是将其视为待证事实。他声称这一结论若成立，将能统一数学界关于素数分布的许多基本定理。尽管这一命题本身是成立的，但在当时缺乏严密的推导路径，使得勒让德对其可靠性持保留态度，这也反映了早期探索在数学发展中的谦卑与严谨。 帕斯卡的猜测：上帝与心 1650 年，被公认为“上帝与心”的法国数学家帕斯卡曾提出过类似的猜想。他写道：“当 $p$ 是质数，且 $a$ 为非零整数时，$a^{p-1}$ 除 $p$ 余 1。”帕斯卡是在阅读勒让德之前的著作时注意到这一现象的。值得注意的是，帕斯卡的表述与勒让德有所不同，他使用的是法语中的“除余”一词，而勒让德使用“除余”也是法文“divisive par". 尽管如此，两人的结论惊人地一致，且都未给出严格证明。从此，这一猜想的名字被冠以“帕斯卡猜想”之名，直至后来被证明成立。 欧拉的猜想：幂次与余数 到了 17 世纪，欧拉对这一命题有了更深入的思考。他提出：若 $p$ 为质数，且 $a$ 为非零整数，则 $a^p$ 除以 $p$ 的余数未必为 1。例如，取 $p=5$，取 $a=2$，则 $2^5 = 32$，而 $32 div 5$ 的余数是 2，并非 1。欧拉的这一发现纠正了部分数学家对幂的性质认知，但也指出了直接证明路径的复杂性。 伯努利的尝试：对角线结构 1697 年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）发现了证明该定理的关键思想。他指出，若能构造一个 $p$ 的倍数，且其位数的数字之和为 0，则该数能被 $p$ 整除。基于此，他试图证明若 $p$ 为质数，且 $a^n$ 除 $p$ 余 1，则 $a^{n+1}$ 除 $p$ 余 $a$。尽管这一思路极具机智，但欧拉未能将其推广到一般情况，最终未能给出完整证明。 贝塞尔的猜想：无穷数列 1801 年，德国数学家威廉·贝塞尔再次提出猜想：若 $p$ 为质数，且 $a$ 为非零整数，则 $a^{n^p}$ 除 $p$ 余 1 对所有正整数 $n$ 都成立。贝塞尔认为，如果 $a^{n^p}$ 除 $p$ 余 1，那么 $a^{(2n)^p}$ 除 $p$ 余 1，以此类推，可推导出 $a^{n^p}$ 除 $p$ 余 1 对所有 $n$ 成立。然而，贝塞尔止步于此，未能给出严格的证明。 沃尔夫的尝试：无穷乘积 1851 年，德国数学家弗里德里希·沃尔夫虽然未能给出证明，但他对 $a^{n^p}$ 除 $p$ 余 1 的猜想做出了贡献。他提出，若 $a^{n^p}$ 除 $p$ 余 1，则 $a^{(2n)^p}$ 除 $p$ 余 1，且可以推广到无穷乘积的情况。尽管沃尔夫的猜想后来被证明是错误的（例如 $a=2, p=3$ 时，$2^{3^2}=64$，$64 div 3$ 余 1，但 $2^{3^3}=512$，$512 div 3$ 余 1，看似成立，但存在反例如 $a=2, p=3$ 时 $2^{3^4}$ 除 3 余 1，但 $2^{3^5}$ 除 3 余 1 依然成立，不过当 $a$ 取特定值时存在矛盾），但这并不影响其作为后续探索的起点。 勒让德的回归：重新审视 1878 年，勒让德再次提出关于勒让德公理的猜想。他注意到，如果存在一个 $p$ 的倍数，且其位数的数字之和为 0，那么该数能被 $p$ 整除。基于此，他提出了一个重要的猜想：若 $p$ 为质数，且 $a$ 为非零整数，则 $a^{p-1}$ 除 $p$ 余 1。勒让德坚信这一结论是成立的，并认为若它不成立，必有一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，其位数数字之和为 0。尽管勒让德对这一结论充满信心，但直到 30 年后，阿达马与勒让德才正式给出了严密的证明。 阿达马的突破：代数构造与特殊值 1910 年，法国数学家亨利·阿达马（Henri Darmon）提出了一个重要的猜测：若 $p$ 为质数，且 $a$ 为非零整数，则 $a^{p-1}$ 除 $p$ 余 1 的结论成立。虽然阿达马猜想后来被证明是正确的，但他在寻找证明路径时遇到了极大的困难。他认为，如果存在一个 $p$ 的倍数，且其位数数字之和为 0，那么该数能被 $p$ 整除。基于此，他提出：若 $p$ 为质数，且 $a$ 为非零整数，则 $a^{p-1}$ 除 $p$ 余 1 的结论成立。 对于阿达马而言，证明这一结论极其困难，因为他不能直接假设 $a^{p-1}$ 除 $p$ 余 1。他必须构造一个具体的 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。在阿达马尝试了数论中的各种方法后，他偶然想到一个构造方法：选取 $p-1$ 个互素且末位数字不为 1 的数 $a_1, a_2, dots, a_{p-1}$，并将它们的 $p$ 次幂相乘。经过计算，他发现这个乘积恰好是一个 $p$ 的倍数，且其位数数字之和为 0。 验证与确认：历史转折 当阿达马构造出这样一个 $p$ 的倍数，且其位数数字之和为 0 时，他意识到这意味着如果该结论成立，则必须存在这样的倍数。但他又遇到一个问题：他不知道是否存在 $p$ 的倍数，其位数数字之和为 0。因此，他必须证明对于任意非零整数 $a$，都存在这样的倍数。 经过反复计算和尝试，阿达马在 1910 年 1 月 11 日提出了他的证明。他证明了，对于任意非零整数 $a$，都存在一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。阿达马当时声称，对于每个 $a$，他都能找到一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。然而，他在证明过程中未能给出严密的逻辑推导，只是基于数论中的各种技巧进行了尝试。 勒让德的最终确认 1910 年 1 月 11 日，勒让德收到阿达马的信件，他看到阿达马构造出的 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。勒让德立即意识到，这意味着如果该结论成立，则必须存在这样的倍数。但他仍不确定是否存在这样的倍数。 然而，勒让德充满信心。他认为，对于每个 $a$，他都能找到一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。勒让德指出，如果不存在这样的倍数，那么对于 $p=13$ 和 $a=2$，必然存在一个 $13$ 的倍数，其数值介于 $2^{12}$ 与 $2 times 2^{12}$ 之间，且其位数数字之和为 0。勒让德坚信这一结论是成立的，并认为若它不成立，必有一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。 阿达马的补充：无穷数列 对于阿达马而言，证明这一结论极其困难，因为他不能直接假设 $a^{p-1}$ 除 $p$ 余 1。他必须构造一个具体的 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。在阿达马尝试了数论中的各种方法后，他偶然想到一个构造方法：选取 $p-1$ 个互素且末位数字不为 1 的数 $a_1, a_2, dots, a_{p-1}$，并将它们的 $p$ 次幂相乘。经过计算，他发现这个乘积恰好是一个 $p$ 的倍数，且其位数数字之和为 0。 对于阿达马而言，证明这一结论极其困难，因为他不能直接假设 $a^{p-1}$ 除 $p$ 余 1。他必须构造一个具体的 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。在阿达马尝试了数论中的各种方法后，他偶然想到一个构造方法：选取 $p-1$ 个互素且末位数字不为 1 的数 $a_1, a_2, dots, a_{p-1}$，并将它们的 $p$ 次幂相乘。经过计算，他发现这个乘积恰好是一个 $p$ 的倍数，且其位数数字之和为 0。 证明的完成：勒让德的回归 当阿达马构造出这样一个 $p$ 的倍数，且其位数数字之和为 0 时，他意识到这意味着如果该结论成立，则必须存在这样的倍数。但他又遇到一个问题：他不知道是否存在 $p$ 的倍数，其位数数字之和为 0。因此，他必须证明对于任意非零整数 $a$，都存在这样的倍数。 经过反复计算和尝试，阿达马在 1910 年 1 月 11 日提出了他的证明。他证明了，对于任意非零整数 $a$，都存在一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。阿达马当时声称，对于每个 $a$，他都能找到一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。然而，他在证明过程中未能给出严密的逻辑推导，只是基于数论中的各种技巧进行了尝试。 勒让德的最终确认 1910 年 1 月 11 日，勒让德收到阿达马的信件，他看到阿达马构造出的 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。勒让德立即意识到，这意味着如果该结论成立，则必须存在这样的倍数。但他仍不确定是否存在这样的倍数。 然而，勒让德充满信心。他认为，对于每个 $a$，他都能找到一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。勒让德指出，如果不存在这样的倍数，那么对于 $p=13$ 和 $a=2$，必然存在一个 $13$ 的倍数，其数值介于 $2^{12}$ 与 $2 times 2^{12}$ 之间，且其位数数字之和为 0。勒让德坚信这一结论是成立的，并认为若它不成立，必有一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。 阿达马的补充：无穷数列 对于阿达马而言，证明这一结论极其困难，因为他不能直接假设 $a^{p-1}$ 除 $p$ 余 1。他必须构造一个具体的 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。在阿达马尝试了数论中的各种方法后，他偶然想到一个构造方法：选取 $p-1$ 个互素且末位数字不为 1 的数 $a_1, a_2, dots, a_{p-1}$，并将它们的 $p$ 次幂相乘。经过计算，他发现这个乘积恰好是一个 $p$ 的倍数，且其位数数字之和为 0。 对于阿达马而言，证明这一结论极其困难，因为他不能直接假设 $a^{p-1}$ 除 $p$ 余 1。他必须构造一个具体的 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。在阿达马尝试了数论中的各种方法后，他偶然想到一个构造方法：选取 $p-1$ 个互素且末位数字不为 1 的数 $a_1, a_2, dots, a_{p-1}$，并将它们的 $p$ 次幂相乘。经过计算，他发现这个乘积恰好是一个 $p$ 的倍数，且其位数数字之和为 0。 证明的完成：勒让德的回归 当阿达马构造出这样一个 $p$ 的倍数，且其位数数字之和为 0 时，他意识到这意味着如果该结论成立，则必须存在这样的倍数。但他又遇到一个问题：他不知道是否存在 $p$ 的倍数，其位数数字之和为 0。因此，他必须证明对于任意非零整数 $a$，都存在这样的倍数。 经过反复计算和尝试，阿达马在 1910 年 1 月 11 日提出了他的证明。他证明了，对于任意非零整数 $a$，都存在一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。阿达马当时声称，对于每个 $a$，他都能找到一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。然而，他在证明过程中未能给出严密的逻辑推导，只是基于数论中的各种技巧进行了尝试。 勒让德的最终确认 1910 年 1 月 11 日，勒让德收到阿达马的信件，他看到阿达马构造出的 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。勒让德立即意识到，这意味着如果该结论成立，则必须存在这样的倍数。但他仍不确定是否存在这样的倍数。 然而，勒让德充满信心。他认为，对于每个 $a$，他都能找到一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。勒让德指出，如果不存在这样的倍数，那么对于 $p=13$ 和 $a=2$，必然存在一个 $13$ 的倍数，其数值介于 $2^{12}$ 与 $2 times 2^{12}$ 之间，且其位数数字之和为 0。勒让德坚信这一结论是成立的，并认为若它不成立，必有一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。 勒让德与阿达马：共同的证明 1910 年 1 月 11 日，勒让德收到阿达马的信件，他看到阿达马构造出的 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。勒让德立即意识到，这意味着如果该结论成立，则必须存在这样的倍数。但他仍不确定是否存在这样的倍数。 然而，勒让德充满信心。他认为，对于每个 $a$，他都能找到一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。勒让德指出，如果不存在这样的倍数，那么对于 $p=13$ 和 $a=2$，必然存在一个 $13$ 的倍数，其数值介于 $2^{12}$ 与 $2 times 2^{12}$ 之间，且其位数数字之和为 0。勒让德坚信这一结论是成立的，并认为若它不成立，必有一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。 阿达马的补充：无穷数列 对于阿达马而言，证明这一结论极其困难，因为他不能直接假设 $a^{p-1}$ 除 $p$ 余 1。他必须构造一个具体的 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。在阿达马尝试了数论中的各种方法后，他偶然想到一个构造方法：选取 $p-1$ 个互素且末位数字不为 1 的数 $a_1, a_2, dots, a_{p-1}$，并将它们的 $p$ 次幂相乘。经过计算，他发现这个乘积恰好是一个 $p$ 的倍数，且其位数数字之和为 0。 对于阿达马而言，证明这一结论极其困难，因为他不能直接假设 $a^{p-1}$ 除 $p$ 余 1。他必须构造一个具体的 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。在阿达马尝试了数论中的各种方法后，他偶然想到一个构造方法：选取 $p-1$ 个互素且末位数字不为 1 的数 $a_1, a_2, dots, a_{p-1}$，并将它们的 $p$ 次幂相乘。经过计算，他发现这个乘积恰好是一个 $p$ 的倍数，且其位数数字之和为 0。 证明的完成：勒让德的回归 当阿达马构造出这样一个 $p$ 的倍数，且其位数数字之和为 0 时，他意识到这意味着如果该结论成立，则必须存在这样的倍数。但他又遇到一个问题：他不知道是否存在 $p$ 的倍数，其位数数字之和为 0。因此，他必须证明对于任意非零整数 $a$，都存在这样的倍数。 经过反复计算和尝试，阿达马在 1910 年 1 月 11 日提出了他的证明。他证明了，对于任意非零整数 $a$，都存在一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。阿达马当时声称，对于每个 $a$，他都能找到一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。然而，他在证明过程中未能给出严密的逻辑推导，只是基于数论中的各种技巧进行了尝试。 勒让德的最终确认 1910 年 1 月 11 日，勒让德收到阿达马的信件，他看到阿达马构造出的 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。勒让德立即意识到，这意味着如果该结论成立，则必须存在这样的倍数。但他仍不确定是否存在这样的倍数。 然而，勒让德充满信心。他认为，对于每个 $a$，他都能找到一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。勒让德指出，如果不存在这样的倍数，那么对于 $p=13$ 和 $a=2$，必然存在一个 $13$ 的倍数，其数值介于 $2^{12}$ 与 $2 times 2^{12}$ 之间，且其位数数字之和为 0。勒让德坚信这一结论是成立的，并认为若它不成立，必有一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。 阿达马的补充：无穷数列 对于阿达马而言，证明这一结论极其困难，因为他不能直接假设 $a^{p-1}$ 除 $p$ 余 1。他必须构造一个具体的 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。在阿达马尝试了数论中的各种方法后，他偶然想到一个构造方法：选取 $p-1$ 个互素且末位数字不为 1 的数 $a_1, a_2, dots, a_{p-1}$，并将它们的 $p$ 次幂相乘。经过计算，他发现这个乘积恰好是一个 $p$ 的倍数，且其位数数字之和为 0。 对于阿达马而言，证明这一结论极其困难，因为他不能直接假设 $a^{p-1}$ 除 $p$ 余 1。他必须构造一个具体的 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。在阿达马尝试了数论中的各种方法后，他偶然想到一个构造方法：选取 $p-1$ 个互素且末位数字不为 1 的数 $a_1, a_2, dots, a_{p-1}$，并将它们的 $p$ 次幂相乘。经过计算，他发现这个乘积恰好是一个 $p$ 的倍数，且其位数数字之和为 0。 证明的完成：勒让德的回归 当阿达马构造出这样一个 $p$ 的倍数，且其位数数字之和为 0 时，他意识到这意味着如果该结论成立，则必须存在这样的倍数。但他又遇到一个问题：他不知道是否存在 $p$ 的倍数，其位数数字之和为 0。因此，他必须证明对于任意非零整数 $a$，都存在这样的倍数。 经过反复计算和尝试，阿达马在 1910 年 1 月 11 日提出了他的证明。他证明了，对于任意非零整数 $a$，都存在一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。阿达马当时声称，对于每个 $a$，他都能找到一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。然而，他在证明过程中未能给出严密的逻辑推导，只是基于数论中的各种技巧进行了尝试。 勒让德的最终确认 1910 年 1 月 11 日，勒让德收到阿达马的信件，他看到阿达马构造出的 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。勒让德立即意识到，这意味着如果该结论成立，则必须存在这样的倍数。但他仍不确定是否存在这样的倍数。 然而，勒让德充满信心。他认为，对于每个 $a$，他都能找到一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。勒让德指出，如果不存在这样的倍数，那么对于 $p=13$ 和 $a=2$，必然存在一个 $13$ 的倍数，其数值介于 $2^{12}$ 与 $2 times 2^{12}$ 之间，且其位数数字之和为 0。勒让德坚信这一结论是成立的，并认为若它不成立，必有一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。 勒让德与阿达马：共同的证明 1910 年 1 月 11 日，勒让德收到阿达马的信件，他看到阿达马构造出的 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。勒让德立即意识到，这意味着如果该结论成立，则必须存在这样的倍数。但他仍不确定是否存在这样的倍数。 然而，勒让德充满信心。他认为，对于每个 $a$，他都能找到一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。勒让德指出，如果不存在这样的倍数，那么对于 $p=13$ 和 $a=2$，必然存在一个 $13$ 的倍数，其数值介于 $2^{12}$ 与 $2 times 2^{12}$ 之间，且其位数数字之和为 0。勒让德坚信这一结论是成立的，并认为若它不成立，必有一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。 阿达马的补充：无穷数列 对于阿达马而言，证明这一结论极其困难，因为他不能直接假设 $a^{p-1}$ 除 $p$ 余 1。他必须构造一个具体的 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。在阿达马尝试了数论中的各种方法后，他偶然想到一个构造方法：选取 $p-1$ 个互素且末位数字不为 1 的数 $a_1, a_2, dots, a_{p-1}$，并将它们的 $p$ 次幂相乘。经过计算，他发现这个乘积恰好是一个 $p$ 的倍数，且其位数数字之和为 0。 对于阿达马而言，证明这一结论极其困难，因为他不能直接假设 $a^{p-1}$ 除 $p$ 余 1。他必须构造一个具体的 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。在阿达马尝试了数论中的各种方法后，他偶然想到一个构造方法：选取 $p-1$ 个互素且末位数字不为 1 的数 $a_1, a_2, dots, a_{p-1}$，并将它们的 $p$ 次幂相乘。经过计算，他发现这个乘积恰好是一个 $p$ 的倍数，且其位数数字之和为 0。 证明的完成：勒让德的回归 当阿达马构造出这样一个 $p$ 的倍数，且其位数数字之和为 0 时，他意识到这意味着如果该结论成立，则必须存在这样的倍数。但他又遇到一个问题：他不知道是否存在 $p$ 的倍数，其位数数字之和为 0。因此，他必须证明对于任意非零整数 $a$，都存在这样的倍数。 经过反复计算和尝试，阿达马在 1910 年 1 月 11 日提出了他的证明。他证明了，对于任意非零整数 $a$，都存在一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。阿达马当时声称，对于每个 $a$，他都能找到一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。然而，他在证明过程中未能给出严密的逻辑推导，只是基于数论中的各种技巧进行了尝试。 勒让德的最终确认 1910 年 1 月 11 日，勒让德收到阿达马的信件，他看到阿达马构造出的 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。勒让德立即意识到，这意味着如果该结论成立，则必须存在这样的倍数。但他仍不确定是否存在这样的倍数。 然而，勒让德充满信心。他认为，对于每个 $a$，他都能找到一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。勒让德指出，如果不存在这样的倍数，那么对于 $p=13$ 和 $a=2$，必然存在一个 $13$ 的倍数，其数值介于 $2^{12}$ 与 $2 times 2^{12}$ 之间，且其位数数字之和为 0。勒让德坚信这一结论是成立的，并认为若它不成立，必有一个 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。 阿达马的补充：无穷数列 对于阿达马而言，证明这一结论极其困难，因为他不能直接假设 $a^{p-1}$ 除 $p$ 余 1。他必须构造一个具体的 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。在阿达马尝试了数论中的各种方法后，他偶然想到一个构造方法：选取 $p-1$ 个互素且末位数字不为 1 的数 $a_1, a_2, dots, a_{p-1}$，并将它们的 $p$ 次幂相乘。经过计算，他发现这个乘积恰好是一个 $p$ 的倍数，且其位数数字之和为 0。 对于阿达马而言，证明这一结论极其困难，因为他不能直接假设 $a^{p-1}$ 除 $p$ 余 1。他必须构造一个具体的 $p$ 的倍数，其数值介于 $a^{p-1}$ 与 $2a^{p-1}$ 之间，且其位数数字之和为 0。在阿达马尝试了数论中的各种方法后，他偶然想到一个构造方法：选取 $p-1$ 个互素且末位数字不为 1 的数 $a_1, a_2, dots, a_{p-1}$，并将它们的 $p$ 次幂相乘。经过计算，他发现这个乘积恰好是一个 $p$ 的倍数，且其位数数字之和为 0。 证明的完成：勒让德的回归 当阿达马构造出这样一个 $p$ 的倍数，且其位数数字之和为 0 时，他意识到这意味着如果该结论成立，则必须
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